Question

（2009•北侖區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的外接圓交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)（12，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)（

600

169

，

1440

169

），過(guò)C點(diǎn)作圓的切線交x軸于點(diǎn)D，連接BC．
（1）求證：線段AB長(zhǎng)度為12；
（2）求直線CD的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上運(yùn)動(dòng)，且EF平分四邊形ABCD的周長(zhǎng)．試問(wèn)，當(dāng)線段AE等于多少時(shí)，△AEF的面積最大．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA于M，由點(diǎn)B、點(diǎn)A的坐標(biāo)根據(jù)勾股定理就可以求出AB的長(zhǎng)，從而求出結(jié)論．
（2）連接AC，作BN⊥OC于N，由圓周角的性質(zhì)可以得出AC是直徑，再由（1）的結(jié)論可以得出△AOC≌△ABC，而得出BC=OC，利用△ABM∽△CNB，可以求出BC，而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)切線的性質(zhì)，由△AOC∽△COD，求出OD的值而求出D的坐標(biāo)，最后由待定系數(shù)法就可以直接求出直線CD的解析式．
（3）作EH⊥OA于H，由勾股定理可以求出CD的值，可以求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)AE=t，由條件可以表示出AF，由△AHE∽△AMB可以表示出EH，由三角形的面積公式表示出△AEF的面積，從而根據(jù)對(duì)稱軸得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA于M，
∴MB=

1440

169

，OM=

600

169

．
∵OA=12，
∴AM=12-

600

169

=

1428

169

，
∴AB=

( 1428 169 )2+( 1440 169 )2

=12；

（2）連接AC，作BN⊥OC于N，
∵∠AOC=90°，
∴AC是直徑，
∴∠ABC=∠AOC=90°．
∵AB=AO=12，AC=AC，
∴△AOC≌△ABC，
∴BC=OC．
∵∠NBM=∠CBA=90°，
∴△AMB∽△CNB，
∴

BN

BM

=

BC

BA

，
∴

600 169

1440 169

=

BC

12

，
∴BC=5，
∴OC=5，
∴C（0，5）．
∵CD切圓于點(diǎn)C，
∴∠DCA=90°=∠COD=∠COA，
∴∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠DCO，
∴∠DCO=∠CAO，
∴△COD∽△CAO，
∴

CO

AO

=

OD

OC

，
∴

5

12

=

OD

5

，
∴OD=

25

12

，
∴D（-

25

12

，0）．
設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，則

5=b 0=- 25 12 k+b

，
解得：

k= 12 5 b=5

．
∴直線CD的解析式為：y=

12

5

x+5；

（3）設(shè)AE=t，CD=

52+ ( 25 12 )2

=

65

12

，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：12+5+

65

12

+

25

12

+12=36.5，
∴AF=18.25-t．
作EH⊥OA于H，
∴EH∥BM，
∴△AHE∽△AMB，
∴

EH

BM

=

AE

AB

，
∴

EH

1440 169

=

t

12

，
∴EH=

120

169

t，
∴S_△AEF=

1

2

×

120t

169

(18.25-t)=-

60

169

t2+

1095

169

t，
∴當(dāng)t=-

b

2a

=-

1095 169

2× - 60 169

=

73

8

時(shí)，△AEF的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．