Question

如圖，直線l₁：y=-x+8與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線l₂：y=x與直線l₁交于點(diǎn)C，平行于y軸的直線m從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時停止．直線m交線段BC、OC于點(diǎn)D、E，以DE為斜邊向左側(cè)作等腰Rt△DEF，設(shè)△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線m的運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）填空：OA=

8

，∠OAB=

45°

；
（2）填空：動點(diǎn)E的坐標(biāo)為（t，

t

），DE=

8-2t

（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）求S與t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量的取值范圍；
（4）設(shè)直線m與OA交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得P、O、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于l₁與x軸交于A點(diǎn)，令y=0，求得x的值，可得OA；l₁與y軸交于B點(diǎn)，令x=0，求得y的值，可得OB；再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠OAB的度數(shù)；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得動點(diǎn)E的坐標(biāo)；DE=DP-EP=DP-t，求出DP=PA=8-t，從而得到DE的長；
（3）F點(diǎn)的位置有三種可能：①點(diǎn)F在y軸左側(cè)（0≤t＜2）；②點(diǎn)F在y軸上（t=2）；③點(diǎn)F在y軸右側(cè)（2＜t＜4）；求出
S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)△POF為等腰三角形，那么只可能是PO=FO，可得t²=[（1+

3

）t-4

3

]²+4²，解方程求解即可．

解答：解：（1）l₁與x軸交于A點(diǎn)，∵當(dāng)y=0時，x=8，
∴OA=8； 
l₁與y軸交于B點(diǎn)，∵當(dāng)x=0時，y=8，
∴OB=8=OA，
∴∠OAB=45°；

（2）直線l₂：y=x與直線l₁交于點(diǎn)C，
則-x+8=x，
解得x=4，
當(dāng)x=4時，y=4，
則C（4，4），
則∠COA=45°，
則E（OP，PE），即E（t，t），
DE=DP-EP=DP-t
∵∠OAB=45°且直線m平行于y軸，垂直于x軸，
∴∠DPA=90°，
DP=PA=8-t，
∴DE=8-2t；

（3）由題可知：直線m交線段BC、OC于點(diǎn)D、E，以DE為斜邊向左側(cè)作等腰Rt△DEF
所以F點(diǎn)的位置有三種可能
①點(diǎn)F在y軸左側(cè)（0≤t＜2），
此時△DEF與△BCO重疊部分的面積為梯形
Rt△DEF的兩直角邊與y軸有兩交點(diǎn)，分別過兩個交點(diǎn)做x軸的平行線（即垂直于DE的兩條線段） 
S=上面小三角形的面積+中間矩形的面積+下面小三角形的面積（且上面小三角形的面積=下面小三角形的面積），
S_{上面小三角形}=

1

2

t²，S_{上下三角形}=t²，S_中間矩形=（DE-2t）•t=-4t²+8t，
則S=-3t²+8t；

②點(diǎn)F在y軸上（t=2），
此時△DEF與△BCO重疊部分的面積為等腰直角三角形，四邊形DFEC為正方形，
S=

1

2

DE•t=

1

2

×（8-4）×2=4；

③點(diǎn)F在y軸右側(cè)（2＜t＜4），
此時△DEF與△BCO重疊部分的面積為等腰直角三角形，四邊形 DFEC為正方形，
S=

1

2

DE（4-t）=t²-8t+16；

（4）存在．理由如下：
∵△DEF的高等于△DEF的斜邊的一半，
∴H=（8-2t）÷2=4-t，
又D、E的中點(diǎn)坐標(biāo)為（t，4），
∴F（2t-4，4），
∴FO²=（2t-4）²+4²=4t²-16t+32，F(xiàn)P²=（2t-4-t）²+4²=t²-8t+32，PO²=t²，
下面分三種情況討論：1，當(dāng)OP=OF時，4t²-16t+32=t²，
整理得：3t²-16t+32=0，
∵△=-128＜0，不存在；
2，當(dāng)PF=PO時，t²-8t+32=t²，解之得：t=4；
3，當(dāng)FP=FO時，即4²-16t+31=4t²-16t+32，
解之得，t₁=0（舍去），t₂=

8

3

，
故當(dāng)t的值為4s或

8

3

s時△POF為等腰三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查對三角形的面積，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，有一定的難度．