Question

【題目】如圖，已知直線(xiàn)y＝x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B．

（1）求拋物線(xiàn)解析式；

（2）點(diǎn)C（m，0）是x軸上異于A、O點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E．

①當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上時(shí)，連接AE、BE，求S△ABE的最大值；

②當(dāng)DE＝AD時(shí)，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①S△ABE最大值為8；②m＝.

【解析】

（1）直線(xiàn)y＝x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣4，0）、（0，4），可得c值，把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c求出b的值，即可得答案；（2）①S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m，即可求解；②根據(jù)A、B坐標(biāo)可得∠BAO=45°，即可得出AD＝AC＝|（m+4）|，根據(jù)AD=DE列方程求出m的值即可．

（1）∵直線(xiàn)y＝x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=-4，

∴點(diǎn)A（-4，0）、點(diǎn)B（0，4），

∴c＝4，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式并解得：-(-4)2-4x+4=0，

解得：b＝﹣3，

故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如圖，連接EA、EB，

①∵C（m，0），CE⊥x軸，D、E分別在AB和拋物線(xiàn)上，

∴點(diǎn)E、D的坐標(biāo)分別為：（m，﹣m2﹣3m+4）、（m，m+4），

∵點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上，

∴DE＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，

∴S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m=-2(m+2)2+8，

∵﹣2＜0，

∴當(dāng)m=-2時(shí)，S△ABE有最大值8.

②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠BAO=45°，

∵∠ACE=90°，

∴AD＝AC＝|m+4|，

∵AD=DE，

∴

解得：m=或m=-4，

∵m=-4時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，不符合題意，

∴m=.