Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是經(jīng)過（1，0）且與y軸平行的直線，點P是拋物線上的一點，點Q是y軸上一點；

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；
（3）若tan∠PCB= ，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)y=0時，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3=0，

解得x1= ，x2=3，即A（ ，0）B（3，0），

由A，B關(guān)于x=1對稱，得

=﹣1，解得m=2，

即A（﹣1，0），

函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：由四邊形ABPQ是平行四邊形，得

PQ∥AB，PQ=AB=4，

當(dāng)PQ=4，即x=4時，y=5，即P（4，5）；

當(dāng)x=﹣4時，y=21，即P（﹣4，21），

綜上所述：四邊形ABPQ是平行四邊形P（4，5），（﹣4，21）；

（3）

解：如圖

，

過P作PQ⊥x軸于Q，交CB延長線于R，過P作PH⊥BC于H，

設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），

∵拋物線y=x2﹣4x+3與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點，

∴x=0，則y=﹣3；

y=0，則0=x2﹣4x+3，

解得：x1=﹣1，x2=3，

故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得： ，

故直線BC解析式：y=x﹣3，

∴R（m，m﹣3），PR=m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）=m2﹣3m，

∵OB=OC=3，

∴∠CBQ=135°，

∴∠HPR=45°，

∵CO=OB，

∴∠OCR=45°，

∴CR= OQ= m，

∴PH=RH=PR÷ = m（m﹣3），

又CR= OQ= m，

∴CH= m+ m（m﹣3）

= m（m+1）

由tan∠PCB= = = ，

解得：m=7，

則m2﹣2m﹣3=32，

故P（7，32）．

【解析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得A，B點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值相等的點關(guān)于對稱軸對稱，可得m的值；（2）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，可得PQ的長，根據(jù)解方程，可得P點的橫坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得答案；（3）根據(jù)題意首先得出直線BC的解析式，進而利用PR的長結(jié)合tan∠PCB=2得出P點橫坐標(biāo)，進而求出答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．