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        1. 【題目】如圖,直線y=2x+2交y軸于A點(diǎn),交x軸于C點(diǎn),以O(shè),A,C為頂點(diǎn)作矩形OABC,將矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形ODEF,直線AC交直線DF于G點(diǎn).

          (1)求直線DF的解析式;

          (2)求證:GO平分CGD;

          (3)在角平分線GO上找一點(diǎn)M,使以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,求出M點(diǎn)坐標(biāo).

          【答案】(1)y=﹣x+1(2見解析3)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,﹣)和(,﹣).

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)直線的解析式找出點(diǎn)A、C的坐標(biāo),再由旋轉(zhuǎn)的特性找出點(diǎn)D、F的坐標(biāo),結(jié)合點(diǎn)D、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線DF的解析式;

          (2)過點(diǎn)O作OPAC于點(diǎn)P,作OQDG于點(diǎn)Q,利用全等直角三角形的判定定理HL證出RtOACRtODF和RtOPGRtOQG,由此即可得出PGO=QGO,從而證出GO平分CGD;

          (3)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出ACDF,結(jié)合(2)的結(jié)論即可得出OGD=45°,聯(lián)立直線AC、DF的解析式成方程組,解方程組可得出點(diǎn)G的坐標(biāo),根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可分兩種情況尋找點(diǎn)M的位置,再通過勾股定理解方程等即可得出結(jié)論.

          解:(1)直線y=2x+2交y軸于A點(diǎn),交x軸于C點(diǎn),

          A點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,2),C點(diǎn)的坐標(biāo)是(﹣1,0),

          將矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形ODEF,

          F點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,1),D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0),

          設(shè)直線DF的解析式是y=kx+1,

          2k+1=0,

          解得k=﹣,

          直線DF的解析式是:y=﹣x+1.

          (2)過點(diǎn)O作OPAC于點(diǎn)P,作OQDG于點(diǎn)Q,如圖1所示.

          在RtOAC和RtODF中,,

          RtOACRtODF(HL),

          OPAC,OQDG,

          OP=OQ,

          在RtOPG和RtOQG中,

          RtOPGRtOQG(HL),

          ∴∠PGO=QGO,

          OG平分CGD.

          (3)矩形OABC繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到矩形ODEF,

          對(duì)角線ACDF,

          GO平分CGD,

          ∴∠OGD=45°.

          得:,

          即點(diǎn)G(﹣,),

          直線GO為y=﹣3x.

          D(2,0),

          GD==,GO==

          以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形分兩種情況:

          ①過D作DM1GO于點(diǎn)M1,則GM1D是以GD為斜邊的等腰直角三角形,過M1作M1HOD于點(diǎn)H,如圖2所示.

          GD=,

          GM1=DM1=×=

          GO=

          OM1=GM1﹣GO==

          設(shè)點(diǎn)M1(x,﹣3x),在RtOM1H中有

          即x2+(﹣3x)2=,解得:x=或x=﹣(舍去).

          點(diǎn)M1,﹣);

          ②過D作DM2GD交GO于M2,則GM2D是以GD為直角邊的等腰直角三角形,過M2作M2IOD于點(diǎn)I,如圖3所示.

          GD=,

          GM2=×=,

          GO=

          OM2=GM2﹣GO==

          設(shè)M2(a,﹣3a),在RtOM2I中有,

          即a2+(﹣3a)2=,解得:a=或a=﹣(舍去),

          點(diǎn)M2,﹣).

          綜上可得:使以點(diǎn)G、M、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形的M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,﹣)和(,﹣).

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