Question

如圖，拋物線y=x²-2x-2交x軸于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為M．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求⊙M上劣弧AB的長(zhǎng)；
（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）∵y=x²-2x-2∴y=（x-1）²-3，
∴對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)C（1，-3）．
又∵拋物線y=x²-2x-2與x軸交點(diǎn)A（1-

3

，0）、B（1+

3

，0），
∴AB=2

3

．
作拋物線對(duì)稱軸x=1交AB于點(diǎn)N，則N（1，0），
∴圓心M在對(duì)稱軸x=1上，連接MB，
∵⊙M中，MN⊥AB，
∴BN=

1

2

AB=

3

．
設(shè)⊙M半徑為r，則MC=MB=r，
∵C（1，-3），
∴CN=3
∴MN=CN-MC=3-r．
∵Rt△BMN中MN²+BN²=MB²
∴(3-r)2+(

3

)2=r2解得r=2
∴MN=3-r=3-2=1
∵ON=1
∴圓心M的坐標(biāo)為（1，-1）

（2）∵△BMN中，∠MNB=90°，MB=r=2，MN=1
∴cos∠NMB=

MN

MB

=

1

2

∴∠NMB=60°
∴∠AMB=2∠NMB=120°
∴⊙M上劣弧AB的長(zhǎng)為

120°×πr

180

=

4

3

π

（3）若線段OC和MD互相平分，則四邊形OMCD必定是平行四邊形，
∴MC∥OD且MC=OD．
∵M(jìn)C=r=2，
∴點(diǎn)D即為點(diǎn)O向下平移2個(gè)單位得點(diǎn)，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，-2）．