Question

古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1，4，9，16…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：
（1）下圖反映了任何一個(gè)三角形數(shù)是如何得到的，認(rèn)真觀察，并在④后面的橫線上寫(xiě)出相應(yīng)的等式；

①1=1
②1+2=

(1+2)×2

2

=3
③1+2+3=

(1+3)×3

2

=6
④

1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；
（2）通過(guò)猜想，寫(xiě)出（1）中與第九個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式

1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；
（3）從下圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．結(jié)合（1）觀察下列點(diǎn)陣圖，并在⑤看面的黃線上寫(xiě)出相應(yīng)的等式．

①1=1²
②1+3=2²
③3+6=3²
④6+10=4²
⑤

10+15=5²

；
（4）通過(guò)猜想，寫(xiě)出（3）中與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²

；
（5）判斷225是不是正方形數(shù)，如果不是，說(shuō)明理由；如果是，225可以看作哪兩個(gè)相鄰的“三角形數(shù)”之和？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)計(jì)算方法寫(xiě)出即可；
（2）根據(jù)求解規(guī)律，用點(diǎn)陣的序數(shù)乘比序數(shù)大1的數(shù)，再除以2即可；
（3）根據(jù)（1）中三角形數(shù)的規(guī)律寫(xiě)出即可；
（4）用第（n-1）個(gè)三角形數(shù)加上第n個(gè)三角形數(shù)，整理即可得解；
（5）把225代入第n個(gè)點(diǎn)陣的表達(dá)式，計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）④1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；

（2）第九個(gè)點(diǎn)陣相應(yīng)的等式：1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；

（3）⑤10+15=5²；

（4）第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式：

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²；

（5）∵225=15²，
∴225是正方形數(shù)，
可以看作是14、15兩個(gè)相鄰的三角形數(shù)的和．
故答案為：（1）1+2+3+4=

(1+4)×4

2

；（2）1+2+3+…+9=

(1+9)×9

2

；（3）10+15=5²；（4）

(1+n-1)(n-1)

2

+

(1+n)×n

2

=n²．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，對(duì)圖形變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察圖形以及三角形數(shù)的定義和求解方法，理解題目信息是解題的關(guān)鍵．