Question

【題目】如圖1，中，，于點(diǎn)，，．

（1）求，的長(zhǎng)

（2）若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)，連結(jié)．

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，若是以為腰的等腰三角形，請(qǐng)求出所有符合條件的的長(zhǎng)．

②設(shè)交直線于點(diǎn)，連結(jié)，，若，則的長(zhǎng)為______________．（直接寫(xiě)出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）BC=10，AC=（2）①-4或4； ②或8．

【解析】

（1）根據(jù)BA=BC可得BC的長(zhǎng)，分別根據(jù)勾股定理可得OC和AC的長(zhǎng)；
（2）①分兩種情況：AO=OE和AO=AE時(shí)，分別畫(huà)圖，根據(jù)三角形的中位線定理和證明三角形全等可解決問(wèn)題；
②分兩種情況：
i）當(dāng)D在線段OB上時(shí)，如圖3，過(guò)B作BG⊥EF于G，根據(jù)同高三角形面積的比等于對(duì)應(yīng)底邊的比，得，可得BF= ，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠BDG=∠BFG，得BD=BF=，最后利用勾股定理可得結(jié)論；
ii）當(dāng)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)B作BG⊥DE于G，同理計(jì)算可得結(jié)論．

（1）∵AO=4，BO=6，
∴AB=10，
∵BA=BC，
∴BC=10，
∵CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵

∴

（2）①分兩種情況：
i）如圖1，當(dāng)AO=OE=4時(shí)，過(guò)O作ON⊥AC于N，

∴AN=EN，
∵DE⊥AC，
∴ON∥DE，
∴AO=OD=4；
ii）當(dāng)AO=AE=4時(shí)，如圖2，

在△CAO和△DAE中，
，
∴△CAO≌△DAE（AAS），
∴AD=AC=4，
∴OD=4-4；
②分兩種情況：
i）當(dāng)D在線段OB上時(shí)，如圖3，過(guò)B作BG⊥EF于G，

∵S△OBF：S△OCF=1：4，
∴
∴
∵CB=10
∴BF=
∵EF⊥AC，
∴BG∥AC，
∴∠GBF=∠ACB，
∵AE∥BG，
∴∠A=∠DBG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB，
∴∠DBG=∠GBF，
∵∠DGB=∠FGB，
∴∠BDG=∠BFG，
∴BD=BF=，
∴OD=OB-BD=6-=，
∴CD= ；
ii）當(dāng)D在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，過(guò)B作BG⊥DE于G，

同理得，
∵BC=10，
∴BF=2，
同理得：∠BFG=∠BDF，
∴BD=BF=2，
Rt△COD中，CD= ，
綜上，CD的長(zhǎng)為或8．
故答案為：或8．