Question

【題目】已知一條拋物線經(jīng)過(guò)A(0,3),B(4,6)兩點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸是x=.

(1)求這條拋物線的關(guān)系式.

(2)證明:這條拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)中,必存在點(diǎn)C,使得對(duì)x軸上任意點(diǎn)D都有AC+BC≤AD+BD.

Answer 1

【答案】（1）y=.（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

（1）先設(shè)出函數(shù)的解析式：y=ax2+bx+c，根據(jù)拋物線經(jīng)過(guò)A（0，3），B（4，6）兩點(diǎn)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式；

（2）令y=0，得到方程，根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，來(lái)證明．

(1)解:設(shè)所求拋物線的關(guān)系式為y=ax2+bx+c,

∵A(0,3),B(4,6),對(duì)稱(chēng)軸是直線x=.

∴, 解得

∴y=.

(2)證明:令y=0,得="0," ∴

∵A(0,3),取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E,∴E (0,-3).

設(shè)直線BE的關(guān)系式為y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,

∴k=,∴y=x-3 .

由x-3=0,得x=.

故C為,C點(diǎn)與拋物線在x軸上的一個(gè)交點(diǎn)重合,

在x軸上任取一點(diǎn)D,在△BED中,BE< BD+DE.

又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD,∴AC+BC<AD+BD.

若D與C重合,則AC+BC="AD+BD." ∴AC+BC≤AD+BD.