Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=

4

3

，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PB=PC，點(diǎn)M是斜邊AB上的中點(diǎn)，直線PM與邊BC的交點(diǎn)為D（如圖），點(diǎn)Q是直線PM上的一動點(diǎn)．
（1）試判斷直線PM與AC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)Q在△ABC的外部時(shí)，已知由點(diǎn)Q、B、D組成的三角形與△ABC相似，求QM的長；
（3）當(dāng)Q不在△ABC的邊上時(shí)，設(shè)BQ=x，△BQM的面積為y，請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析：（1）連接CM．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到BM=CM，結(jié)合PB=PC，可以根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則PM垂直平分BC，從而PM∥AC；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識求得AC和BC的長，然后分三種情況考慮，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解；
（3）要表示△BQM的面積，則以QM為底，高是2．根據(jù)勾股定理即可表示QM的長．

解答：解：（1）PM∥AC．理由如下：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)M是斜邊AB上的中點(diǎn)，
∴BM=CM，
又PB=PC，
∴PM垂直平分BC，
∴PM∥AC；

（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在DM的延長線上時(shí)，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=

4

3

，
∴AC=3，BC=4．
要使△QBD∽△BAC，
則需

BD

AC

=

QD

BC

，
即

2

3

= 

QD

BC

，
即QD=

8

3

，
又DM=

1

2

AC=1.5，
∴QM=QD-DM=

7

6

；
②當(dāng)點(diǎn)Q在MD的延長線上時(shí)，
若使△QBD∽△ABC，則

QD

AC

=

BD

BC

，
即

QD

3

=

2

4

，
即QD=

3

2

，
則QM=QD+DM=3；
若使△QBD∽△BAC，則

QD

BC

=

BD

AC

，
即

QD

4

=

2

3

，
即QD=

8

3

，
則QM=QD+DM=

25

6

．

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在DM的延長線上時(shí)，
則QM=

x2-4

-1.5，
則y=

x2-4

-1.5（x＞2.5）；
當(dāng)點(diǎn)Q在DM上時(shí)，則
y=QM=1.5-

x2-4

（2＜x＜2.5）；
當(dāng)點(diǎn)Q在MD的延長線上時(shí)，
則y=QM=1.5+

x2-4

（x＞2）．

點(diǎn)評：此題綜合考查了解直角三角形的知識、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)．