Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是BD，AC的中點(diǎn)，AB，CD滿足什么條件時，四邊形EGFH是菱形？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：當(dāng)AB=CD時，四邊形EGFH是菱形． 證明：∵點(diǎn)E，G分別是AD，BD的中點(diǎn)，
∴EG AB，同理HF AB，∴EG HF．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．
∵EG= AB，又可同理證得EH= CD，
∵AB=CD，∴EG=EH，
∴四邊形EGFH是菱形
【解析】本題可根據(jù)菱形的定義來求解．E、G分別是AD，BD的中點(diǎn)，那么EG就是三角形ADB的中位線，同理，HF是三角形ABC的中位線，因此EG、HF同時平行且相等于AB，因此EG∥=HF． 因此四邊形EHFG是平行四邊形，E、H是AD，AC的中點(diǎn)，那么EH= CD，要想證明EHFG是菱形，那么就需證明EG=EH，那么就需要AB、CD滿足AB=CD的條件．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的三角形中位線定理和菱形的判定方法，需要了解連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能得出正確答案．