Question

【題目】如圖，在矩形中，為原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，與交于點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；

(2)為線段上一個動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，為線段上一個動點(diǎn)，，連接，設(shè)，的面積為，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，為拋物線的對稱軸上一點(diǎn)，請求出使為銳角三角形時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)；(2)時，取最大值，最大值為；點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，4)；(3)或.

【解析】

（1）將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線求解即可；

（2）利用勾股定理求得AC=10，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，得到，根據(jù)得到S關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，然后化成頂點(diǎn)式即可得解；

（3）由拋物線解析式可得對稱軸為直線，得到D點(diǎn)坐標(biāo)，分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況求得F點(diǎn)坐標(biāo)即可.

解：(1)將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得.

解得.

拋物線的解析式為.

(2)，，

.

如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則.

.

.

當(dāng)時，取最大值，最大值為.

，

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(3)∵拋物線的解析式為

對稱軸為直線.

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由(2)知.

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，設(shè).

，

.

解得或.

，.

滿足為直角三角形的點(diǎn)共有四個，坐標(biāo)分別為，，，.

使為銳角三角形時，點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍為或.