Question

【題目】已知二次函數(shù)y1＝mx2﹣nx﹣m+n（m＞0）．

（Ⅰ）求證：該函數(shù)圖象與x軸必有交點(diǎn)；

（Ⅱ）若m﹣n＝3，

（ⅰ）當(dāng)﹣m≤x＜1時(shí)，二次函數(shù)的最大值小于0，求m的取值范圍；

（ⅱ）點(diǎn)A（p，q）為函數(shù)y2＝|mx2﹣nx﹣m+n|圖象上的動點(diǎn)，當(dāng)﹣4＜p＜﹣1時(shí)，點(diǎn)A在直線y＝﹣x+4的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）利用一元二次方程根的情況判斷拋物線與x軸的交點(diǎn)情況；

（Ⅱ）（ⅰ）根據(jù)已知條件得到拋物線解析式為：＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．由此求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的增減性求得m的取值范圍；

（ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)圖象與不等式間的轉(zhuǎn)化關(guān)系解答．

（Ⅰ）∵△＝（﹣n）2﹣4m（﹣m+n）＝（n﹣2m）2≥0，

∴該函數(shù)圖象與x軸必有交點(diǎn)；

（Ⅱ）（ⅰ）∵m﹣n＝3，

∴n＝m﹣3．

∴

＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3．

當(dāng)y1＝0時(shí)，mx2﹣（m﹣3）x﹣3＝0，

解得x1＝1，

∴二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)為（1，0）和（ ，0）

∵當(dāng)﹣m≤x＜1時(shí)，二次函數(shù)的最大值小于0，

∴

又∵m＞0，

∴；

（ⅱ），m﹣n＝3，

∴當(dāng)或x＞1時(shí)，y2＝mx2﹣（m﹣3）x﹣3，

當(dāng)時(shí)，y2＝﹣mx2+（m﹣3）x+3．

∵當(dāng)﹣4＜p＜﹣1時(shí)，點(diǎn)A在直線y＝﹣x+4上方，

∴當(dāng)，即m＞3時(shí)，有m×（﹣1）2﹣（m﹣3）×（﹣1）﹣3≥﹣（﹣1）+4，

解得．

當(dāng)，即m時(shí)，有﹣m×（﹣1）2+（m﹣3）×（﹣1）+3≥﹣（﹣1）+4

且﹣m×（﹣4）2+（m﹣3）×（﹣4）+3≥﹣（﹣4）+4，

∴．

又∵m＞0

∴．

綜上，或．