Question

（2012•歷下區(qū)一模）如圖，拋物線與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，3），M是拋物線對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)，則△AMC的周長(zhǎng)最小值是

10

+5

．

Answer 1

分析：連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于M，連接AM，AC，由A與B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)△AMC的周長(zhǎng)最小，其值等于AC+AM+CM，再由線段垂直平分線定理得到MA=MB，等量代換可得出周長(zhǎng)最小值為AC+BC，由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)得到OA、OB、OC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC與直角三角形BOC中，利用勾股定理分別求出AC與BC的長(zhǎng)，即可得到三角形AMC周長(zhǎng)的最小值．

解答：解：連接BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于M，連接AM，AC，此時(shí)△AMC的周長(zhǎng)最小，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，3），
∴OA=1，OB=4，OC=3，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC=

OA2+OC2

=

10

，
在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理得：BC=

OB2+OC2

=5，
∵A與B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴MA=MB，
則△ACM周長(zhǎng)最小值為AC+CM+AM=AC+CM+MB=AC+BC=

10

+5．
故答案為：

10

+5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)題意得出周長(zhǎng)最小值為AC+BC是解本題的關(guān)鍵．