Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點(diǎn)．

（1）線段AC的長度是　 　．

（2）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長；

（3）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）AP＝；（3）＜AP＜或AP＝5．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，直接利用勾股定理求解即可；

（2）連接PF，如圖3，利用平行四邊形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)可得PF∥AC，進(jìn)而可證明△DPF∽△DAC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即得AP的長；

（3）先利用平行四邊形的面積求出當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)圓的半徑，可發(fā)現(xiàn)此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊有5個(gè)公共點(diǎn)；再分兩種情況：①⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)；②⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，分別求出即可得到答案．

解：（1）∵平行四邊形ABCD中，AB＝6，AD＝10，

∴BC＝AD＝10，

∵AB⊥AC，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，

故答案為：8；

（2）如圖3所示，連接PF，設(shè)AP＝x，則DP＝10﹣x，PF＝x，

∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，即，

解得：x＝，

即AP＝；

（3）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，連接PG，如圖4，則SABCD＝×6×8×2＝10PG，解得：PG＝，此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5；

①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)，與BC沒有公共點(diǎn)時(shí)，＜AP＜，即此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4；

②當(dāng)⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，如圖5，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，此時(shí)AP＝5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP＝5，

故答案為：＜AP＜或AP＝5．