Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，B為切點(diǎn)，OC平行于弦AD，連接CD。過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，交AC于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P平分線(xiàn)段DE。

Answer 1

【答案】證明：連結(jié)OD ， OD∥AD ，

∴∠1＝∠ADO ， ∠2＝∠DAO ，
∵OA=OD ， ∴∠ADO=∠DAO ，
∴∠1＝∠2，∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC ， ∴∠ODC＝∠OBC。
∵OB是⊙O的半徑，BC是⊙O的切線(xiàn)，
∴BC⊥OB
∴∠OBC＝900 ， ∴∠ODC＝900 ， ∴CD⊥OD。
∴CD是⊙O的切線(xiàn)。
過(guò)A作⊙O的切線(xiàn)AF ， 交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F ， 則FA⊥AB。
∵DE⊥AB ， CB⊥AB ， ∴FA∥DE∥CB,
∴ 。
在△FAC中，∵DP∥FA, ∴ 。
∵FA、FD是⊙O的切線(xiàn)，∴FA=FD，∴ 。
在△ABC中，∵EP∥BC, ∴ 。
∵CD、CB是⊙O的切線(xiàn)，∴CB=CD ， ，
∴ ， ∴DP=EP ，
∴點(diǎn)P平分線(xiàn)段DE.
【解析】出現(xiàn)切線(xiàn)時(shí)，連接圓心和切點(diǎn)，過(guò)A作平行線(xiàn)，可由DP∥FA得到 ,可由EP∥BC得到,再利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得出CB=CD,進(jìn)而證出DP=EP.