Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P為邊AD上一動點(diǎn)，連接BP，把△ABP沿BP折疊，使A落在A′處，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時，AP的長為（ ）

A. 2B. C. 2或D. 2或

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)△A′DC為等腰三角形，分三種情況進(jìn)行討論：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分別求得AP的長，并判斷是否符合題意．

①如圖，當(dāng)A′D=A′C時，過A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，則EF垂直平分CD，EF垂直平分AB

∴A'A=A'B

由折疊得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP

∴△ABA'是等邊三角形

∴∠ABP=30°

∴AP=；

②如圖，當(dāng)A'D=DC時，A'D=2

由折疊得，A'B=AB=2

∴A'B+A'D=2+2=4

連接BD，則Rt△ABD中，BD=

∴A'B+A'D＜BD（不合題意）

故這種情況不存在；

③如圖，當(dāng)CD=CA'時，CA'=2

由折疊得，A'B=AB=2

∴A'B+A'C=2+2=4

∴點(diǎn)A'落在BC上的中點(diǎn)處

此時，∠ABP=∠ABA'=45°

∴AP=AB=2．

綜上所述，當(dāng)△A′DC為等腰三角形時，AP的長為或2．

故選C.