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        1. 閱讀并解答:
          ①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
          ②方程2x2-x-2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=-1.
          ③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-,x2=1,則有x1+x2=-,x1x2=-
          (1)根據(jù)以上①②③請你猜想:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關系?請寫出你的猜想并證明你的猜想;
          (2)利用你的猜想結論,解決下面的問題:
          已知關于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.
          【答案】分析:(1)由①②③中兩根之和與兩根之積的結果可以看出,兩根之和正好等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù),兩根之積正好等于常數(shù)項與二次項系數(shù)之比.
          (2)欲求k的值,先把代數(shù)式x12+x22變形為兩根之積或兩根之和的形式,然后與兩根之和公式、兩根之積公式聯(lián)立組成方程組,解方程組即可求k值.
          解答:解:(1)猜想為:設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則有,
          理由:設x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根,
          那么由求根公式可知,
          于是有,,
          綜上得,設ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2,則有,

          (2)x1、x2是方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的兩個實數(shù)根
          ∴x1+x2=-(2k+1),x1x2=k2-2,
          又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2-2x1x2=(x1+x22-2x1x2
          ∴[-(2k+1)]2-2×(k2-2)=11
          整理得k2+2k-3=0,
          解得k=1或-3,
          又∵△=[-(2k+1)]2-4(k2-2 )≥0,解得k≥-
          ∴k=1.
          點評:本題考查了學生的總結和分析能力,善于總結,善于發(fā)現(xiàn),學會分析是學好數(shù)學必備的能力.
          將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.
          練習冊系列答案
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          ①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
          ②方程2x2-x-2=0的根是x1=
          1+
          17
          4
          ,x2=
          1-
          17
          4
          ,則有x1+x2=
          1
          2
          ,x1x2=-1.
          ③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-
          7
          3
          ,x2=1,則有x1+x2=-
          4
          3
          ,x1x2=-
          7
          3

          (1)根據(jù)以上①②③請你猜想:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關系?請寫出你的猜想并證明你的猜想;
          (2)利用你的猜想結論,解決下面的問題:
          已知關于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0有實數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

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          ①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
          ②方程x2﹣x﹣2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=﹣1.
          ③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣,x2=1,則有x1+x2=﹣,x1x2=﹣
          (1)根據(jù)以上①②③請你猜想:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關系?請寫出你的猜想并證明你的猜想;
          (2)利用你的猜想結論,解決下面的問題:已知關于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有實數(shù)根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

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          ①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
          ②方程2x2-x-2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=-1.
          ③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-,x2=1,則有x1+x2=-,x1x2=-
          (1)根據(jù)以上①②③請你猜想:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關系?請寫出你的猜想并證明你的猜想;
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          ①方程x2-2x+1=0的根是x1=x2=1,則有x1+x2=2,x1x2=1.
          ②方程2x2-x-2=0的根是x1=,x2=,則有x1+x2=,x1x2=-1.
          ③方程3x2+4x-7=0的根是x1=-,x2=1,則有x1+x2=-,x1x2=-
          (1)根據(jù)以上①②③請你猜想:如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數(shù)根為x1,x2,那么x1,x2與系數(shù)a、b、c有什么關系?請寫出你的猜想并證明你的猜想;
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