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        1. 如圖,⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點(diǎn),⊙O1的弦AC與⊙O2相切,P是
          AmC
          的中點(diǎn),PA精英家教網(wǎng)、PB的延長(zhǎng)線分別交⊙O2于點(diǎn)E、F,PB交AC于D.
          (1)求證:PC∥AF;
          (2)求證:AE•PC=BE•PD;
          (3)若A是PE的中點(diǎn),則⊙O1與⊙O2是否是等圓?若不是等圓,請(qǐng)說(shuō)明理由;若是等圓,請(qǐng)給出證明.
          分析:(1)欲證PC∥AF,可以證明∠AFB=∠CPB.
          (2)欲證AE•PC=BE•PD,即AE:BE=PD:PC,可以證明∠FPC=∠AEB,∠PDC=∠EAB,從而證明△PCD∽△EBA得出;
          (3)⊙O1與⊙O2是否是等圓,即直徑是否相等.A是PE的中點(diǎn),可以證明PB,EB分別是⊙O1,⊙O2的直徑,它們所在的直角三角形中兩直角邊分別相等,得出PB=BE,⊙O1與⊙O2是等圓.
          解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接AB,PC.
          ∵AC與⊙O2相切,∴∠CAB=∠AFB.
          ∵∠CPB=∠CAB,∴∠AFB=∠CPB.
          ∴PC∥AF;

          (2)證明:連BE,BC,
          ∵PC∥AF,∴∠CPD=∠AFP.
          ∵∠AFB=∠AEB,∴∠FPC=∠AEB.
          ∵∠PDC=∠ACB+∠CBD,∠EAB=∠APD+∠ABP,∠ACB=∠APD,∠CBD=∠ABP,
          ∴∠PDC=∠EAB.
          ∴△PCD∽△EBA.
          ∴PC:PD=EB:EA,
          ∴AE•PC=BE•PD;

          (3)解:AC與⊙O2相切,∠CAF=∠E,P是
          AmC
          的中點(diǎn),
          ∴∠PAC=∠PCA.
          ∵PC∥AF,∴∠PCA=∠CAF.
          ∴∠PAC=∠E.
          ∴AC∥EF.
          ∵A是PE的中點(diǎn),∴PA=EA.
          ∴AD=CD.
          ∴四邊形PCFA是平行四邊形.
          ∴AF=PC,PA=AE=AF.
          ∴∠BFE=90°.∴∠BAE=90°=∠BAP.
          ∴PB,EB分別是⊙O1,⊙O2的直徑.
          ∴PB=BE,⊙O1與⊙O2是等圓.
          點(diǎn)評(píng):考查了平行線的判斷,相似三角形的判定和性質(zhì),圓的知識(shí).此題是一個(gè)大綜合題,難度較大.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (1)求證:EF•BC=DE•AC;
          (2)若AD=3,AC=1,AF=
          3
          ,求EF的長(zhǎng).

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          16、如圖.⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)A,BC是⊙O1和⊙O2的公切線,B、C為切點(diǎn),求證:AB⊥AC.

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          (2001•黃岡)已知,如圖,⊙O1和⊙O2內(nèi)切于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P的直線交⊙O1于點(diǎn)D,交⊙O2于點(diǎn)E;DA與⊙O2相切,切點(diǎn)為C.
          (1)求證:PC平分∠APD;
          (2)PE=3,PA=6,求PC的長(zhǎng).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案