Question

【題目】已知：如圖1，點(diǎn)A、O、B依次在直線MN上，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向以每秒2°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向以每秒4°的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0秒≤t≤90秒）．

（1）用含t的代數(shù)式表示∠MOA的度數(shù)．

（2）在運(yùn)動過程中，當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，求t的值．

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的t，使得射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角（指大于0°而不超過180°的角）的平分線？如果存在，請直接寫出t的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠MOA=2t，（2）t=40秒時(shí)，∠AOB第二次達(dá)到60°；（3）當(dāng)t的值分別為18、22.5、36、60、67.5秒時(shí)，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．

【解析】

試題分析：（1）∠AOM的度數(shù)等于OA旋轉(zhuǎn)速度乘以旋轉(zhuǎn)時(shí)間；

（2）當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，射線OB在OA的左側(cè)，根據(jù)∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°列方程求解可得；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有三種情況：

①OB兩次平分∠AOM時(shí)，根據(jù)∠AOM=∠BOM，列方程求解，

②OB兩次平分∠MON時(shí)，根據(jù)∠BOM=∠MON，列方程求解，

③OB平分∠AON時(shí)，根據(jù)∠BON=∠AON，列方程求解．

解：（1）∠MOA=2t，

（2）如圖，

根據(jù)題意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，

當(dāng)∠AOB第二次達(dá)到60°時(shí)，∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°，

即2t+4t﹣180=60，解得：t=40，

故t=40秒時(shí)，∠AOB第二次達(dá)到60°；

（3）射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線有以下三種情況：

①OB平分∠AOM時(shí)，∵∠AOM=∠BOM，

∴t=180﹣4t，或t=4t﹣180，

解得：t=36或t=60；

②OB平分∠MON時(shí)，∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=90°，

∴4t=90，或4t﹣180=90，

解得：t=22.5，或t=67.5；

③OB平分∠AON時(shí)，∵∠BON=∠AON，

∴4t=（180﹣2t），或180﹣（4t﹣180）=（180﹣2t），

解得：t=18或t=90（不符合題意，舍去）；

綜上，當(dāng)t的值分別為18、22.5、36、60、67.5秒時(shí)，射線OB是由射線OM、射線OA、射線ON中的其中兩條組成的角的平分線．