Question

（2013•德陽）如圖，在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，位于直徑AB的異側(cè)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q，已知：⊙O半徑為

5

2

，tan∠ABC=

3

4

，則CQ的最大值是（　　）

• A．5
• B．

  15

  4

• C．

  25

  3

• D．

  20

  3

Answer 1

分析：根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC=

AC

BC

=

3

4

，然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=

BN

AC

•PC=

4

3

PC，PC為直徑時(shí)，PC最長，此時(shí)CQ最長，然后把PC=5代入計(jì)算即可．

解答：解：∵AB為⊙O的直徑，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=

AC

BC

，
∴

AC

BC

=

3

4

，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴

AC

PC

=

BC

CQ

，
∴CQ=

BC

AC

•PC=

4

3

PC，
當(dāng)PC最大時(shí)，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時(shí)，CQ最大，此時(shí)CQ=

4

3

×5=

20

3

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．