Question

如圖，△ABO中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)C，且分別交OA、OB于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AB是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若△ABO腰上的高等于底邊的一半，且AB=4

3

，求

ECF

的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切線(xiàn)；
根據(jù)三角函數(shù)公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因?yàn)镺A=OB，從而得出∠AOB=120度．由弧長(zhǎng)公式可求得

ECF

的長(zhǎng)為

4

3

π．

解答：（1）證明：連接OC．（1分）
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∵C在⊙O上，
∴AB是⊙O的切線(xiàn)．（2分）

（2）解：過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AO，交AO的延長(zhǎng)線(xiàn)于D點(diǎn)．
由題意有AB=2BD，AB=4

3

．
在Rt△ABD中，根據(jù)正弦定義sinA=

BD

AB

=

1

2

，
∴∠A=30度．（3分）
在Rt△ACO中，AC=

1

2

AB=2

3

，∠A=30°，
則AO=2OC．
由勾股定理，求得OC=2．（4分）
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120度．
由弧長(zhǎng)公式可求得

ECF

的長(zhǎng)為

4

3

π．（5分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)切線(xiàn)的判定，弧長(zhǎng)公式，及解直角三角形的綜合運(yùn)用能力．