Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C，D重合），AM，AN分別交BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠MAN始終保持45°不變．

（1）求證：=；

（2）求證：AF⊥FM；

（3）請(qǐng)?zhí)剿鳎涸凇螹AN的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠BAM等于多少度時(shí)，∠FMN=∠BAM？寫(xiě)出你的探索結(jié)論，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）∠BAM=22.5時(shí)，∠FMN=∠BAM，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知易證∠MAF=∠MBE，即可得A、B、M、F四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求得∠AFM=90°，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即求得=；（2）由（1）的結(jié)論∠AFM=90°，即可得AF⊥FM；．（3）由A、B、M、F四點(diǎn)共圓，可證得∠BAM=∠EFM，因?yàn)?/span>∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再證明△ABM≌△ADN即可解決問(wèn)題．

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，

∵∠MAN=45°，

∴∠MAF=∠MBE，

∴A、B、M、F四點(diǎn)共圓，

∴∠ABM+∠AFM=180°，

∴∠AFM=90°，

∴∠FAM=∠FMA=45°，

∴AM=AF，

∴=．

（2）由（1）可知∠AFM=90°，

∴AF⊥FM．

（3）結(jié)論：∠BAM=22.5時(shí)，∠FMN=∠BAM

理由：∵A、B、M、F四點(diǎn)共圓，

∴∠BAM=∠EFM，

∵∠BAM=∠FMN，

∴∠EFM=∠FMN，

∴MN∥BD，

∴=，∵CB=DC，

∴CM=CN，

∴MB=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=45°，

∴∠BAM+∠DAN=45°，

∴∠BAM=22.5°．