Question

【題目】中，，，點(diǎn)為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與，重合），以為邊在右側(cè)作正方形，連接.

（1）觀(guān)察猜想：如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，

①與的位置關(guān)系為：______.②，，之間的數(shù)量關(guān)系為：______；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線(xiàn)上）

（2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明.

（3）拓展延伸：如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接.若已知，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】觀(guān)察猜想：（1）①； ②；數(shù)學(xué)思考：（2）結(jié)論①仍然成立，見(jiàn)解析，結(jié)論②變?yōu)?/span>，見(jiàn)解析；拓展延伸：（3）.

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DAB≌△FAC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）分別過(guò)點(diǎn)、作垂線(xiàn)，根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，再證明，根據(jù)勾股定理即可求解.

解：（1）在正方形ADEF中，AD=AF,

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF，故△DAB≌△FAC

∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即

②∵△DAB≌△FAC

∴CF=BD,

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD

（2）結(jié)論①仍然成立，結(jié)論②變?yōu)?/span>.

證明：∵四邊形是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∴.

又，

∴.

∴，，

∵，

∴.

設(shè)與交于點(diǎn)，則，

在中，，

∴，

∴即

（3）分別過(guò)點(diǎn)、作垂線(xiàn)，類(lèi)比（1）（2）結(jié)論可知，，，

又AD=DE,∠AND=∠DHE=90°，

∵∠NAD+∠ADN=90°，∠EDH+∠ADN=90°，

∴∠NAD=∠EDH

∴

∴，，，，

由勾股定理得