Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直與x軸，垂足為E，l是拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．

（1）求出二次函數(shù)的表達(dá)式以及點D的坐標(biāo)；
（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移到其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形的面積；
（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2 ， Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分的圖形面積記為S，求S與t之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣9），

∵C（0，4）在拋物線上，

∴4=﹣27a，

∴a=﹣ ，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣9）=﹣ x2+ x+4，

∵CD垂直于y軸，C（0，4）

∴﹣ x2+ x+4=4，

∴x=6，

∵D（6，4），

（2）

解：如圖1，

∵點F是拋物線y=﹣ x2+ x+4的頂點，

∴F（3， ），

∴FH= ，

∵GH∥A1O1，

∴ ，

∴ ，

∴GH=1，

∵Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分是梯形A1O1HG，

∴S重疊部分=S△A1O1F﹣S△FGH= A1O1×O1F﹣ GH×FH= ×3×4﹣ ×1× =

（3）

②當(dāng)3＜t≤6時，如圖3，

∵C2H∥OC，

∴ ，

∴ ，

∴C2H= （6﹣t），

∴S=S四邊形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH

= OA×OC﹣ C2H×（t﹣3）

= ×3×4﹣ × （6﹣t）（t﹣3）

= t2﹣3t+12

∴當(dāng)0＜t≤3時，S= t2，當(dāng)3＜t≤6時，S= t2﹣3t+12

【解析】（1）用待定系數(shù)法求拋物線解析式；（2）由GH∥A1O1 ， 求出GH=1，再求出FH，S重疊部分=S△A1O1F﹣S△FGH計算即可；（3）分兩種情況①直接用面積公式計算，②用面積差求出即可．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行線分線段成比例定理，三角形的面積計算，解本題的關(guān)鍵是畫出圖形．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的面積和平行線分線段成比例的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．