Question

若方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有一個相同的根，且a、b、c為一個三角形的邊長，則這個三角形一定是（　�。�

• A、等邊三角形
• B、等腰三角形
• C、直角三角形
• D、等腰直角三角形

Answer 1

分析：求出x²+2ax+b²=0的兩個根x₁，x₂；再求出方程x²+2cx-b²=0的兩根x₃，x₄；分四種情況進行計算即可作出判斷：①x₁=x₃，②x₂=x₄，③x₁=x₄，④x₂=x₃．

解答：解：解方程x²+2ax+b²=0得，
x₁=

-2a+ (2a)2-4b2

2

=-a+

a2-b2

，
x₂=

-2a- (2a)2-4b2

2

=-a-

a2-b2

，
解方程x²+2cx-b²=0得，
x₃=

-2c+ (2c)2+4b2

2

=-c+

c2+b2

，
x₄=

-2c- (2c)2+4b2

2

=-c-

c2+b2

，
∴方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0有一個相同的根，
∴①x₁=x₃，-a+

a2-b2

=-c+

c2+b2

；
移項得，c-a=

c2+b2

-

a2-b2

，
∵a≠c，
兩邊平方、并整理得，ac=

c2+b2

•

a2-b2

，
兩邊平方得，a²c²=（c²-b²）（a²-b²），
整理得，c²+b²=a²．
根據(jù)勾股定理的逆定理，可知此三角形為直角三角形．
同理，②x₂=x₄時，得相同結果；
③x₁=x₄時，解得，等式不成立；
④x₂=x₃時，解得，等式不成立．
故三角形為直角三角形．
故選C．

點評：此題考查三角形的三邊關系、一元二次方程的關系．求出方程的解，列出等式，是解題的關鍵．解答時要注意分類討論．