Question

【題目】如圖 1，在△ ABC中，∠ACB = 2∠B, ∠BAC的平分線AO交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)H為AO上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)H作直線l⊥ AO于H,分別交直線AB、AC、BC于點(diǎn)N、E、M

（1）當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)(如圖 2)，求證:NH = CH；

（2）當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫出CE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明;

（3）請(qǐng)直接寫出BN、CE、CD之間的等量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）CD=2CE，理由見(jiàn)解析；（3）①當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；

②當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，CD=BN-CE；③當(dāng)點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD=CE-BN

【解析】

（1）根據(jù)AD平分∠BAC和CN⊥AD可證△AHC≌△AHN，從而可以得到答案；

（2）過(guò)點(diǎn)C作交AB于點(diǎn), 過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于點(diǎn)G，結(jié)合（1）再證△BNM≌△CGM即可；

（3）結(jié)合（2）的證明過(guò)程，很容易判斷BN、CE、CD之間的等量關(guān)系要分三種情況討論：當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)；當(dāng)點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí).

證明：（1）∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD

∵CN⊥AD

∴∠AHC=∠AHN=90°

∵AH=AH

∴△AHC≌△AHN（ASA）

∴CH=NH

（2）

當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，CE和CD的等量關(guān)系為CD=2CE，

理由：證明：過(guò)點(diǎn)C作交AB于點(diǎn),

連接，由（1）可知AO是的中垂線，

∴

∴

∴

又∵

∴

∴

∴

同理（1）可知△ANH≌AEH（ASA）

∴AN=AE，∠3=∠4

∴

即，

過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB交直線l于點(diǎn)G，

則∠4=∠2，∠B=∠1

∴∠2=∠3

∴CG=CE，

∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，

∴BM=CM

在△BNM和△CGM中，

∴△BNM≌△CGM（ASA）

∴BN=CG，

又∵CG=CE，

∴BN=CE，

∴；

（3）

結(jié)合（2）可知BN、CE、CD之間的等量關(guān)系：

當(dāng)點(diǎn)M在線段BC上時(shí)，CD=BN+CE；

當(dāng)點(diǎn)M在線段BC的延長(zhǎng)線時(shí)，CD=BN-CE；

當(dāng)點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD=CE-BN.