Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60⁰,M是BC的中點。

（1）求證：⊿MDC是等邊三角形；

（2）將⊿MDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當MD(即MD′)與AB交于一點E,MC即MC′)同時與AD交于一點F時，點E,F和點A構(gòu)成⊿AEF.試探究⊿AEF的周長是否存在最小值。如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出⊿AEF周長的最小值。

Answer 1

（1）證明：過點D作DP⊥BC,于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q,

∵∠C=∠B=60⁰

∴CP=BQ=AB,CP+BQ=AB

又∵ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD,

由已知，點M是BC的中點，

BM=CM=AD=AB=CD,

即⊿MDC中，CM=CD, ∠C=60⁰,故⊿MDC是等邊三角形。

（2）解：⊿AEF的周長存在最小值，理由如下：

連接AM,由（1）平行四邊形ABMD是菱形，⊿MAB, ⊿MAD和⊿MC′D′是等邊三角形，

∠BMA=∠BME+∠AME=60⁰, ∠EMF=∠AMF+∠AME=60⁰

∴∠BME=∠AMF

在⊿BME與⊿AMF中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=60⁰

∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)

∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB

∵∠EMF=∠DMC=60⁰ ,故⊿EMF是等邊三角形，EF=MF.

∵MF的最小值為點M到AD的距離，即EF的最小值是。

⊿AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF,

⊿AEF的周長的最小值為2+