Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm，點P是AB邊上的一個動點，過點P作PE⊥BC于點E,PF⊥AC于點F,當PB=6cm時，四邊形PECF的面積最大，最大值為______

Answer 1

【答案】9cm2

【解析】試題分析：設(shè)PE=x，在Rt△PEB中，根據(jù)∠B=30°，可知PB=2x，BE=x，再在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)的知識求出BC的長，進而可以表示出CE的長度；然后利用矩形的面積公式，即可得到四邊形PECF的面積S關(guān)于x的表達式，對表達式進行配方，利用二次函數(shù)的最值即可得到答案.

解：設(shè)PE=x，由∠B=30°，

得PB=2x，BE=x.

由AB=12cm，

得BC=12×cos30°=6cm，

故CE=BC-BE=6－x.

則四邊形PECF的面積=CE×PE=(6－x)x=－x2+6x=－ (x-3)2+9，

當x=3cm，即PB=2x=6cm時，四邊形PECF的面積最大，最大值是9cm2.

故答案為：9cm2.