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        1. 【題目】如圖,等腰 RtABC 中,∠BAC90°,ADBC D,∠ABC 的平分線分別交 ACAD E,F,點M EF 的中點,AM 的延長線交 BC N,連接 DM,NF,EN.下列結(jié)論:①△AFE為等腰三角形;②△BDF≌△ADN;③NF所在的直線垂直平分AB;④DM平分∠BMN;⑤AEENNC;⑥.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )

          A.2B.3C.4D.5

          【答案】D

          【解析】

          ①由等腰三角形的性質(zhì)得∠BAD=CAD=C=45°,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠AEF=CBE+C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=FBA+BAF=22.5°+45°=67.5°,則得到∠AEF=AFE,可判斷△AEF為等腰三角形,于是可對①進行判斷;求出BD=AD,∠DBF=DAN,∠BDF=ADN,證△DFB≌△DAN,由題意可得BF>BD=AD,所以BFAF,所以點F不在線段AB的垂直平分線上,所以③不正確,由∠ADB=AMB=90°, 可知AB、D、M四點共圓, 可求出∠ABM=ADM=22.5°,繼而可得∠DMN=DAN+ADM=22.5°+22.5°=45°, 即可求出DM平分∠BMN ,所以④正確;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得△AFB≌△CAN, 繼而可得AE=CN,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定可得△ENC是等腰直角三角形,繼而可得AE=CN=EN,所以⑤正確;根據(jù)等腰三角形的判定可得△BAN是等腰三角形,可得BD=AB,繼而可得,由⑤可得,所以⑥正確.

          解:∵等腰RtABC中,∠BAC=90°,ADBC,

          ∴∠BAD=CAD=C=45°,

          BE平分∠ABC,

          ∴∠ABE=CBE=ABC=22.5°,

          ∴∠AEF=CBE+C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=FBA+BAF=22.5°+45°=67.5° ∴∠AEF=AFE,

          ∴△AEF為等腰三角形,所以①正確;

          ∵∠BAC=90°,AC=AB,ADBC,

          ∴∠ABC=C=45°,AD=BD=CD,∠ADN=ADB=90°,

          ∴∠BAD=45°=CAD,

          BE平分∠ABC

          ∴∠ABE=CBE= ABC=22.5°,

          ∴∠BFD=AEB=90°-22.5°=67.5°,

          AFE=BFD=AEB=67.5°,

          AF=AEAMBE,

          ∴∠AMF=AME=90°,

          ∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=MBN,

          在△FBD和△NAD,

          FBD=∠DAN ,BDAD ,BDF=∠ADN ,

          ∴△FBD≌△NAD,所以②正確;

          因為BF>BD=AD,

          所以BFAF,

          所以點F不在線段AB的垂直平分線上,所以③不正確

          ∵∠ADB=AMB=90°,

          AB、D、M四點共圓,

          ∴∠ABM=ADM=22.5°,

          ∴∠DMN=DAN+ADM=22.5°+22.5°=45°,

          DM平分∠BMN ,所以④正確;

          在△AFB和△CNA中,

          BAF=∠C45°,ABAC, ABF=∠CAN22.5°,

          ∴△AFB≌△CANASA),

          AF=CN,

          AF=AE,

          AE=CN,

          AE=AF,FM=EM,

          AMEF,

          ∴∠BMA=BMN=90°,

          BM=BM,∠MBA=MBN,

          ∴△MBA≌△MBN,

          AM=MN,

          BE垂直平分線段AN,

          AB=BN,EA=EN

          BE=BE,

          ∴△ABE≌△NBE

          ∴∠ENB=EAB=90°,

          ENNC

          ∴△ENC是等腰直角三角形,

          AE=CN=EN,所以⑤正確;

          AF=FN,

          所以∠FAN =FNA,

          因為∠BAD =FND=45°,

          所以∠FAN+ BAD =FNA+FND,

          所以∠BAN =BNA,

          所以AB=BN,

          所以,

          由⑤可知,△ENC是等腰直角三角形,AE=CN=EN,

          ,

          所以,所以⑥正確,

          故選D.

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