Question

如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點A、B（A在左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點M，對稱軸與線段BC交于點N，點P為線段BC上一個動點（與B、C不重合）．
（1）求點A、B的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點D，使|DC-DB|的值最大，求點D的坐標；
（3）過點P作PQ∥y軸與拋物線交于點Q，連接QM，當四邊形PQMN滿足有一組對邊相等時，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數(shù)與圖象的交點坐標求法，y=0，求出x即可；
（2）利用軸對稱圖形的性質可以得出D點坐標的位置，利用D點在直線AC解析式上，即可求出；
（3）利用平行四邊形的性質以及等腰梯形性質分別求出即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+3x+4與x軸交于點A、B（A在左側），
∴拋物線與x軸的交點坐標為：0=-x²+3x+4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
A（-1，0）、B（4，0）；

（2）連接AC并延長交拋物線的對稱軸于D，
將A（-1，0），C（0，4）點的坐標代入：Y=kx+b，

b=4 -k+b=0

解得：b=4，k=4，
求出直線AC解析式：y=4x+4，
將x=1.5，代入y=4x+4得，
y=10，
∴D點坐標（1.5，10）

（3）設P（x，-x+4），Q（x，-x²+3x+4），
①四邊形PQMN是平行四邊形，此時PQ=MN，
由題意得，

25

4

-

5

2

=（-x²+3x+4）-（-x+4）
解得：x=2.5，x=1.5（舍去）
此時P（2.5，1.5），
②四邊形PQMN是等腰梯形，此時PN=QM進一步得MG=NH（QG、PH是所添的垂線段），
從而得方

25

4

+x²-3x-4=-x+4-

5

2

，
解得x=0.5，x=1.5（舍去），
此時P（0.5，3.5），
綜合上述兩種情況可知：當四邊形PQMN滿足有一組對邊相等時，
P點的坐標為（2.5，1.5）或（0.5，3.5）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用以及平行四邊形與梯形的性質等知識，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的難點問題，同學們在解答的過程中特別注意解題的技巧性從而降低計算量．