Question

已知，如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，連接AC，過點C作直線CD⊥AB于D（AD＜DB），點E是DB上任意一點（點D、B除外），直線CE交⊙O于點F，連接AF與直線CD交于點G．
（1）求證：AC²=AG•AF；
（2）若點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請畫出圖形并給予證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證AC²=AG•AF，即證AC：AG=AF：AC，可以通過證明△AGC∽△ACF得到．
（2）分清E點在AD上有兩種情況，然后逐一證明．

解答：（1）證明：連接CB，
∵AB是直徑，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，又∠CAD=∠BAC，
∴△CAD∽△BAC，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠ABC=∠AFC，
∴∠ACD=∠AFC，∠CAG=∠FAC，
∴△ACG∽△AFC，
∴

AC

AG

=

AF

AC

，
∴AC²=AG•AF；

（2）解：當點E是AD（點A除外）上任意一點，上述結(jié)論仍成立
①當點E與點D重合時，F(xiàn)與G重合，如圖所示：
有AG=AF，∵CD⊥AB，
∴

AC

=

AF

，AC=AF，
∴AC²=AG•AF
②當點E與點D不重合時（不含點A）時，如圖所示：

證明類似（1）．

點評：考查相似三角形的判定方法及圓周角定理的綜合運用．