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        1. 【題目】已知等邊ABC內接于O,AD為O的直徑交線段BC于點M,DEBC,交AB的延長線于點E.

          (1)求證:DE是O的切線;

          (2)若等邊ABC的邊長為6,求BE的長.

          【答案】1)證明見解析(2)2

          【解析】

          試題分析:(1)由等邊三角形的性質得出O即是ABC的外心,又是ABC的內心,得出BAM=CAM=30°,因此AMB=90°,由平行線的性質得出EDA=90°,即可得出結論;

          (2)由等邊三角形的性質得出BM=AB=3,連接OB,則OBM=30°,得出OM=OB,由勾股定理求出OB,由平行線的性質得出=,求出AE,即可得出BE的長.

          (1)證明:等邊ABC內接于O,

          ∴∠ABC=60°,O即是ABC的外心,又是ABC的內心,

          ∴∠BAM=CAM=30°,

          ∴∠AMB=90°,

          DEBC,

          ∴∠EDA=AMB=90°,

          ADO的直徑,

          DEO的切線;

          (2)解:∵△ABC是等邊三角形,

          BM=AB=3,

          連接OB,如圖所示:

          OBM=30°,

          OM=OB,

          由勾股定理得:OB2﹣OM2=BM2,

          即OB2﹣(OB)2=32

          解得:OB=2,

          OM=,AM=3,AD=4,

          DEBC

          =,即=

          解得:AE=8,

          BE=AE﹣AB=8﹣6=2.

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          參賽者編號

          1

          2

          3

          4

          5

          成績/分

          96

          88

          86

          93

          86

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