Question

請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．
三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線(xiàn)分對(duì)邊所得的兩條線(xiàn)段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線(xiàn)．
求證：

BD

DC

=

AB

AC

分析：要證

BD

DC

=

AB

AC

，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在三角形相似．現(xiàn)在B、D、C在一直線(xiàn)上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比．在比例式

BD

DC

=

AB

AC

中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過(guò)C作CE∥AD，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)AE，這樣，證明

BD

DC

=

AB

AC

就可以轉(zhuǎn)化成證AE=AC．
證明：過(guò)C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于E．
CE∥DA?

∠1=∠E ∠2=∠3 ∠1=∠2

?∠E=∠3?AE=AC，
CE∥DA?

BD DC = BA AE AE=AC

?

BD

DC

=

AB

AC

（1）上述證明過(guò)程中，用到了哪些定理？（寫(xiě)對(duì)兩個(gè)定理即可）
（2）在上述分析、證明過(guò)程中，主要用到了下列三種數(shù)學(xué)思想的哪一種？選出一個(gè)填在后面的括號(hào)內(nèi)．[]
①數(shù)形結(jié)合思想；
②轉(zhuǎn)化思想；
③分類(lèi)討論思想．
（3）用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理解答問(wèn)題：
已知：如圖，△ABC中，AD是角平分線(xiàn)，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由比例式

BD

DC

=

AB

AC

，想到作平行線(xiàn)，用到了平行線(xiàn)的性質(zhì)定理；只要證明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∥AD，寫(xiě)出比例式

BD

DC

=

AB

AC

，用到了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理（推論）；
（2）把AC轉(zhuǎn)化成AE，是用的轉(zhuǎn)化思想；
（3）利用三角形內(nèi)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理，列出比例式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果．

解答：解：（1）證明過(guò)程中用到的定理有：
①平行線(xiàn)的性質(zhì)定理；
②等腰三角形的判定定理；

（2）②轉(zhuǎn)化思想．（4分）

（3）∵AD是角平分線(xiàn)，
∴

BD

DC

=

AB

AC

（5分）
又∵AB=5，AC=4，BC=7，
∴

BD

7-BD

=

5

4

，
∴BD=

35

9

（cm）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道材料題，根據(jù)材料推得的結(jié)果進(jìn)行解題，主要考查平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的理解及運(yùn)用．