Question

23、如圖①，點O為線段MN的中點，PQ與MN相交于點O，且PM∥NQ，可證△PMO≌△QNO．根據(jù)上述結論完成下列探究活動：
探究一：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長線相交于點F．試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
探究二：如圖③，DE、BC相交于點E，BA交DE于點A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=4，CF=2，求DF的長度．

Answer 1

分析：（1）如圖2，分別延長DC、AE，交于G點，根據(jù)已知條件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB=CG，又AB∥DC，∠BAE=∠EAF，利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理可以證明AF=GF，利用這些即可證明題目的結論；
（2）如圖3，分別延長CF、AE，交于G點，根據(jù)已知條件可以得到△ABE∽△GCE，由此得到AB：CG=BE：CE，由此可以求出CG，又AB∥FC，∠BAE=∠EAF，利用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理可以證明DF=GF，然后利用已知條件和這些即可解決問題．

解答：解：（1）AB=AF+CF．
如圖2，分別延長DC、AE，交于G點，
根據(jù)圖①得△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，
又AB∥DC，
∴∠BAE=∠G
而∠BAE=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴AF=GF，
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；
 （2）如圖3，分別延長CF、AE，交于G點，
根據(jù)得△ABE∽△GCE，
∴AB：CG=BE：CE，
而BE：EC=1：2，AB=4，
∴CG=8，
又AB∥FC，
∴∠BAE=∠G，
而∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴DF=GF，
而CF=2，
∴DF=CG-CF=8-2=6．

點評：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，此題是探究題目，首先正確理解給出的基本圖形的隱含結論，然后結合要探究的圖形作輔助線把探究的問題轉(zhuǎn)換為已知的問題解決即可．