Question

【題目】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，CB＝5，動(dòng)點(diǎn)M從C點(diǎn)開(kāi)始沿CB運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從B點(diǎn)開(kāi)始沿BA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā)，兩點(diǎn)均以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)（當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即同時(shí)停止），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）AN＝　 　；CM＝　 　．（用含t的代數(shù)式表示）

（2）連接CN，AM交于點(diǎn)P．

①當(dāng)t為何值時(shí)，△CPM和△APN的面積相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)t＝3時(shí)，試求∠APN的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）8﹣t，t；（2）①；②∠APN＝45°

【解析】

（1）根據(jù)路程＝速度×時(shí)間，可用含t的代數(shù)式表示BN，CM的長(zhǎng)，即可用含t的代數(shù)式表示AN的長(zhǎng)；

（2）①由題意可得S△ABM＝S△BNC，根據(jù)三角形面積公式可求t的值；

②過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，PG⊥AB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CN，交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BP，可證四邊形PGBF是矩形，可得PF＝BG，根據(jù)三角形的面積公式，可得方程組，求出PG，PF的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可求PN的長(zhǎng)，通過(guò)證△ANE∽△CNB，可求AE，NE的長(zhǎng)，即可求∠APN的度數(shù)．

解：（1）∵M，N兩點(diǎn)均以1個(gè)單位/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，

∴CM＝BN＝t，

∴AN＝8﹣t，

故答案為：8﹣t，t；

（2）①若△CPM和△APN的面積相等

∴S△CPM+S四邊形BMPN＝S△APN+S四邊形BMPN，

∴S△ABM＝S△BNC，

∴,

∴8×（5﹣t）＝5t

∴t＝

∴當(dāng)t＝時(shí)，△CPM和△APN的面積相等；

②如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC，PG⊥AB，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CN，交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BP，

∵PG⊥AB，PF⊥BC，∠B＝90°，

∴四邊形PGBF是矩形，

∴PF＝BG，

∵t＝3，

∴CM＝3＝BN，

∴BM＝2，AN＝5，

∵S△ABM＝S△ABP+S△BPM，

∴

∴16＝8PG+2PF①

∵S△BCN＝S△BCP+S△BPN，

∴×5×3＝

∴15＝3PG+5PF②

由①②組成方程組解得：PG＝，PF＝，

∴BG＝

∴NG＝BN﹣BG＝3﹣＝

在Rt△PGN中，PN＝＝，

在Rt△BCN中，CN＝＝

∵∠B＝∠E＝90°，∠ANE＝∠BNC

∴△ANE∽△CNB

∴

∴

∴AE＝，NE＝

∵PE＝EN+PN

∴PE＝+＝

∴AE＝PE，且AE⊥PE

∴∠APN＝45°