Question

拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx+c滿足如下四個條件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-3；a＜b＜c
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A、B（A在B的左邊），與y軸的交點(diǎn)為C．
①在第一象限內(nèi)，這條拋物線上有一點(diǎn)P，AP交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)OD=1.5時，試比較S_△APC與S_△AOC的大小．
②在x軸的上方，這條拋物線上是否存在點(diǎn)Pn，使得S_△APnC=S_△AOC？若存在，請求出點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
當(dāng)b=0時：
由，
得，
解得．
或
∵a＜b＜c．
∴（不合題意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4
＜2＞當(dāng)c=0時
由，
得
解之得．
或，
∵a＜b＜c；
∴和，都不合題意，舍去．
∴所求的拋物線解析式為y=-x²+4．

（2）①在y=-x²+4中，當(dāng)y=0時，x=±2；當(dāng)x=0時，y=4．
∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0），（2，0），（0，4）
過P作PG⊥x軸于G，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）
∵點(diǎn)P是這條拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2
∵OD∥PG，OD=1.5
∴=
即=
解得m₁=，m₂=-2（不合題意，舍去）
∴OG=
又CD=OC-OD=4-1.5=2.5
S_△PDC=•CD•OG=××=
S_△AOD=•OA•OD=××2==
∴S_△PDC＞S_△AOD
又∵S_△APC=S_△PDC+S_△ADC，S_△AOC=S_△AOD+S_△ADC
∴S_△APC＞S_△AOC
②分兩種情況討論：
在第一象限內(nèi)，設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Pn（m，n），使得S_△APnC=S_△AOC．
過Pn作PnM⊥x軸于點(diǎn)M，

則m＞0，n＞0，n=-m²+4
OM=m，PnM=-m²+4，OA=2，AM=m+2
設(shè)APn交y軸于點(diǎn)Dn，設(shè)ODn=t
∵ODn∥PnM，
∴=
即
化簡為mt+2t=8-2m²，DnC=OC-ODn=4-t
S_△AODn=OA•ODn=×2×t=t；
S_△PnCDn=CDn•OM=（4-t）×m；
∵S_△AOC=S_△APnC
∴S_△AODn=S_△PnCDn
即t=（4-t）×m，mt+2t=4m
將mt+2t=4m代入mt+2t=8-2m²中有8-2m²=4m
整理得m²+2m-4=0，m₁=-1，m₂=-1-
∵m＞0，
∴m₂=-1-（不合題意，舍去）
∴m=-1，
此時n=-m²+4=-（-1）²+4=2-2
∴存在點(diǎn)Pn坐標(biāo)為（-1，2-2），
使得S_△APnC=S_△AOC在第二象限內(nèi)，這條拋物線上任取一點(diǎn)Pnn，連接PnnA，PnnC，分別過點(diǎn)A作直線l₁垂直x軸，過點(diǎn)C作直線l₂垂直于y軸，l₁與l₂相交于Q點(diǎn)，則四邊形QAOC是矩形，S_△AQC=S_△AOC．

設(shè)Pnn點(diǎn)坐標(biāo)為（mn，nn）
則有-2＜mn＜0
∵nn=-m_n²+4
∴0＜nn＜4
∴點(diǎn)Pn_n在矩形QAOC內(nèi)，又易知Pnn在△AQC內(nèi)
∴S_△APnC＜S_△AQC，S_△APnC＜S_△AOC
∴在第二象限內(nèi)這條拋物線上不存在點(diǎn)Pnn，使S_△APnC=S_△AOC．
分析：（1）已知了四個條件：abc=0 ①；a+b+c=3②；ab+bc+ca=-3③；a＜b＜c④．
根據(jù)①可知b=0或c=0（a≠0），那么本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
一：當(dāng)b=0，可聯(lián)立②③，求出a，c的值，然后根據(jù)④判斷出符合條件的a，c的值，進(jìn)而可求出拋物線的解析式．
二：當(dāng)c=0時，方法同一．
綜合兩種情況可得出拋物線的解析式．
（2）①比較S_△APC和S_△AOC的大小實(shí)際就是比較△DPC和△AOD的面積．
△AOD中，根據(jù)OA，OD的長，可求出△AOD的面積．
△DPC中，可以CD為底邊，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為高，
過P作PG⊥x軸于G，OG就是△DPC的高．
可根據(jù)相似三角形ADO和APG，得出關(guān)于OD，PG，OA，OG的比例關(guān)系式．
設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即可根據(jù)所得的比例關(guān)系式求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出△DPC的面積．
然后比較△DPC和△AOD的面積即可得出S_△APC和S_△AOC的大�。�
②本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)P點(diǎn)在第一象限時，解法同①，只不過要設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)和OD的長，其他解法基本一樣，只是最后不是比較大小，而是得出一個等量關(guān)系．根據(jù)這個等量關(guān)系來求P點(diǎn)的坐標(biāo)．
可分別過C，A作坐標(biāo)軸的平行線，可得出一個矩形，設(shè)兩條平行線的交點(diǎn)為Q，那么△AQC與△AOC的面積相等，而P在△ACQ內(nèi)，因此△ACP的面積總小于△ACQ的面積．因此△ACP的面積不會和△ACO的面積相等．此種情況不成立．
點(diǎn)評：本題結(jié)合三角形的相關(guān)知識考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，由于題中的數(shù)據(jù)較多，計(jì)算過程較復(fù)雜，因此細(xì)心求解是解題的關(guān)鍵．