Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（－1，0），B（3，0），與y軸交于C（0，－3），頂點為點M．

（1）求拋物線的解析式及點M的坐標．

（2）點P是直線BC在y軸右側(cè)部分圖象上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求符合條件的P點坐標．

（3）過點C作CD∥AB，CD交拋物線于點D，點Q是線段CD上的一動點，作直線QN與線段AC交于點N，與x軸交于點E，且∠BQE＝∠BDC，當CN的值最大時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】 （1）y＝x2－2x－3,M（1，－4）;（2）P1（，－），P2（3，0）;（3）E（－10，0）．

【解析】試題分析：（1）由拋物線經(jīng)過的三個已知點，可設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)，把C點坐標代入求a的值；（2）連接MC，作MF⊥y軸于點F，構(gòu)造出直角三角形，由直角三角形相似，對應邊成比例分情況討論即可；（3）先求出點D的坐標，可求出線段BD的值，由拋物線的軸對稱性可得到△NCQ∽△QDB，利用相似三角形對應邊成比例即可求解．

試題解析：（1）∵拋物線與x軸交于A（－1，0），B（3，0），

∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x＋1)(x－3)．

把（0，－3）代入y＝a(x＋1)(x－3)，解得a＝1．

∴拋物線的解析式為y＝x2－2x－3．

∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

∴點M的坐標是（1，－4）．

（2）連接MC，作MF⊥y軸于點F，則點F坐標為（0，－4）．

∵MF＝1，CF＝－3－(－4)＝1，

∴MF＝CF，MC＝．

∴∠FCM＝∠FMC＝45°．

∵B（3，0），C（0，－3），∴OB＝OC＝3．

而∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．

∴∠MCB＝180°－∠OCB－∠FCM＝90°．

由此可知，∠MCP＝90°，則點O與點C必為相似三角形對應點．

過點P作PH⊥y軸于H．

①若有△PCM∽△AOC，則有＝．

∴CP＝＝＝．

∵∠PCH＝45°，CP＝，

∴PH＝CH＝÷＝．

∴OH＝OC－CH＝3－＝．

∴P1（，－）；

②若有△PCM∽△COA，則有＝．

∴CP＝＝＝．

∴PH＝CH＝÷＝3．此時，點P與點B重合．

∴P2（3，0）．

∴符合題意的P點坐標為P1（，－），P2（3，0）．

（3）過點Q作QG⊥x軸于點G．

設(shè)點E的坐標為（n，0），Q的坐標為（m，－3）．

∵CD∥x軸，

∴D的縱坐標為－3．

把y＝－3代入y＝x2－2x－3，

∴x＝0或x＝2．

∴D（2，－3）．

∵B（3，0），

∴由勾股定理可求得：BD＝．

∵Q（m，－3），

∴QD＝2－m，CQ＝m（0≤m≤2）．

∵∠BQE＝∠BDC，∠EQC＋∠BQE＝∠BDC＋∠QBD，

∴∠EQC＝∠QBD．

又由拋物線的軸對稱性可知：∠NCQ＝∠BDC，

∴△NCQ∽△QDB．

∴＝．

∴＝．

∴CN＝－(m2－2m)＝－(m－1)2＋．

∴當m＝1時，CN可取得最大值．此時Q的坐標為（1，－3）．

∴QG＝3，BG＝2，QD＝1．

∴由勾股定理可求得：QB＝．

∵E（n，0），

∴EB＝3－n．

∵CD∥x軸，

∴∠BEQ＝∠NQC＝∠QBD，∠EBQ＝∠BQD．

∴△EQB∽△BDQ．

∴＝．

∴BQ2＝QDEB，即13＝1×(3－n)，

∴n＝－10．

∴E的坐標為（－10，0）．