Question

【題目】綜合實踐:

問題情境

數(shù)學(xué)活動課上，老師和同學(xué)們在正方形中利用旋轉(zhuǎn)變換探究線段之間的關(guān)系探究過程如下所示:如圖I，在正方形中，點為邊的中點.將以點為旋轉(zhuǎn)中心，順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點的對應(yīng)點落在邊上時，連接.

“興趣小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是:；

“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是:.

解決問題

(1)請你證明“興趣小組”和“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

拓展探究

證明完“興趣小組”和“卓越小組”發(fā)現(xiàn)的結(jié)論后，“智慧小組”提出如下問題:如圖2，連接，若正方形的邊長為，求出的長度.

(2)請你幫助智慧小組寫出線段的長度.(直接寫出結(jié)論即可)

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②見解析；(2)

【解析】

(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到：，進而得到：，即可得到結(jié)論；

②先證：，可得：，利用余角的性質(zhì)，進而可得：，即可得到結(jié)論；

連接AC′，BC′，過C′作C′M⊥BC于點M，易證：點C′在以E′為圓心，E′A為半徑的圓上，即：∠A C′B=90°，進而得到：tan∠BA C′=tan∠AD E′=，由AB=2，

得：BC′=，=，，，在RtCMC′中，利用勾股定理，即可求解.

(1)①由旋轉(zhuǎn)得到，

.

又四邊形是正方形，

.

，

(HL)，

；

②點為中點，，AB=BC，

點為的中點.

，

又

(SAS)，

.

連接AC′，BC′，過C′作C′M⊥BC于點M，

∵E′A= E′B= E′C′，

∴點C′在以E′為圓心，E′A為半徑的圓上，

∴∠A C′B=90°，

∵DA E′與D C′E′關(guān)于直線D E′軸對稱，

∴AC′⊥D E′，

∴∠BA C′+∠A E′D=90°，

∵∠AD E′+∠A E′D=90°，

∴∠BA C′=∠AD E′，

∴tan∠BA C′=tan∠AD E′=，即：BC′： AC′：AB=1：2：，

∵AB=2，

∴BC′=，

∵∠A BC′+∠MB C′=90°，∠A BC′+∠BAC′=90°，

∴∠MB C′=∠BAC′，

∴MC′：MB：B C′=1：2：，

∴=，，

∴，

∴在RtCMC′中，CC′=.