Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BA=CD，AD的長(zhǎng)為4，S_梯形ABCD=9．已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，3）．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）取點(diǎn)E（0，1），連接DE并延長(zhǎng)交AB于P試猜想DF與AB之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）將梯形ABCD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°后成梯形AB′C′D′，求對(duì)稱軸為直線x=3，且過(guò)A、B′兩點(diǎn)的拋物線的解析式．

Answer 1

（1）根據(jù)題意，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，3）易得OB=3，BC=2，
可得C到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，
故C（-2，3）．

（2）猜想：DF⊥AB．
根據(jù)題意，易得tan∠FDA=

OE

OB

=

1

3

，
同時(shí)可得tan∠BAO=-

OB

OA

=-3，
有tan∠FDA×tan∠BAO=-1，
故DF⊥AB．

（3）根據(jù)題意，設(shè)其方程為y=a（x-3）²+c，
同時(shí)有A（1，0），（5，0），
將其代入方程可得a=1，c=-4，
化簡(jiǎn)可得y=x²-6x+5，
故所求的拋物線解析式為y=x²-6x+5．