Question

（2012•西湖區(qū)一模）設a，b，c是△ABC的三邊長，二次函數(shù) y=(a-

b

2

)x2-cx-a-

b

2

（其中2a≠b），
（1）當b=2a+8c時，求二次函數(shù)的對稱軸；
（2）當x=1時，二次函數(shù)最小值為-

8

5

b，試判斷△ABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)函數(shù)解析式，代入對稱軸的公式，在計算過程中，注意把b=2a+8c代入即可；
（2）根據(jù)題意可知對稱軸是x=1，于是-

-c

2×(a- b 2 )

=1，化簡得c=2a-b，然后把x=1代入二次函數(shù)解析式可得c=

3

5

b，把c=

3

5

b代入c=2a-b中可得a=

4

5

b，計算可得a²+c²=b²，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱軸的公式，得
x=-

-c

2×(a- b 2 )

=

c

2a-b

=

c

2a-(2a+8c)

=-

1

8

；

（2）根據(jù)題意可知
-

-c

2×(a- b 2 )

=1，
化簡得
c=2a-b①，
把x=1代入函數(shù)解析式，可得
a-

b

2

-c-a-

b

2

=-

8

5

b，
即c=

3

5

b②，
把②代入①，得
a=

4

5

b，
∴a²+c²=

9

25

b²+

16

25

b²=b²，
∴△ABC是以b為斜邊的直角三角形．

點評：本題考查了二次函數(shù)性質、二次函數(shù)最值，解題的關鍵是區(qū)分公式中a、b、c與三角形三邊a、b、c的不同，靈活使用勾股定理逆定理．