Question

大學生李某投資在沙坪壩學校密集的沙南街路段投資開辦了一個學生文具店．該店在開學前8月31日采購進一種今年新上市的文具袋．9月份（9月1日至9月30日）進行30天的試銷售，購進價格為20元/個．銷售結束后，得知日銷售量y（個）與銷售時間x（天）之間有如下關系：y=-2x+80（1≤x≤30，且x為整數(shù)）；又知銷售價格z（元/個）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關系滿足如圖所示的函數(shù)圖象．
（1）求z關于x的函數(shù)關系式；
（2）求出在這30天（9月1日至9月30日）的試銷中，日銷售利潤ω（元）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關系式；
（3）“十一”黃金周期間，李某采用降低售價從而提高日銷售量的銷售策略．10月1日全天，銷售價格比9月30日的銷售價格降低a%而日銷售量就比9月30日提高了6a%（其中a為小于15 的正整數(shù)），日銷售利潤比9月份最大日銷售利潤少569元，求a的值．（參考數(shù)據(jù)：50²=2500，51²=2601，52²=2704）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象得出銷售價格z與銷售時間x（天）的關系為一次函數(shù)關系進而求出即可；
（2）根據(jù)當1≤x≤20時，以及當20＜x≤30時，表示出日銷售利潤，進而求出函數(shù)關系式即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函數(shù)的最值求法以及一次函數(shù)的增減性，得出9月份日銷售利潤最大為1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%）•20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569進而求出a的值即可．

解答：（1）由圖象知，當1≤x≤20時，設z=kx+b，
則有：

38=6k+b 45=20k+b

，
解得：

k= 1 2 b=35

，
即z=

1

2

x+35，
當20＜x≤30時z=45，
綜上：z=

1 2 x+35，(1≤x≤20) 45，         (20＜x≤30)

；

（2）當1≤x≤20時，
W=yz-20y=（-2x+80）（

1

2

x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
當20＜x≤30時，
W=yz-20y=45（-2x+80）-20（-2x+80）
=-50x+2000，
即W=

-x2+10x+1200， (1≤x≤20) -50x+2000，(20＜x≤30)

；

（3）9月30日的價格為45元，日銷售量為20個，
9月份當1≤x≤20時日銷售利潤為：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
當9月5日時日利潤最大為1225元．
當20＜x≤30時，利潤為W=-50x+2000，
當x增加時W減小，故為x=21時最大．最大日銷售利潤為950元，
綜上9月份日銷售利潤最大為1225元．
由題意得45（1-a%）•20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569，
（1+6a%）[900（1-a%）-400]=656，
（1+6a%）（900-9a-400）=656，
（1+6a%）（500-9a）=656，
500-9a+30a-54a²%=656，
方程兩邊同乘以100得：
54a²-2100a+15600=0，
化簡得9a²-350a+2600=0，
a₁=10，a₂=

260

9

（舍），
答：a的值為10．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應用和一元二次方程的應用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關系式是解題關鍵．