Question

【題目】如圖，已知直線y=﹣2x+12分別與y軸，x軸交于A，B兩點，點M在y軸上，以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于點D，連接MD．

（1）求證：△ADM∽△AOB；

（2）如果⊙M的半徑為2，請寫出點M的坐標(biāo)，并寫出以（﹣， ）為頂點，且過點M的拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=﹣2（x+）2+．

【解析】試題分析：（1）由AB為圓M的切線，利用切線的性質(zhì)得到一對角為直角，再由公共角，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；

（2）設(shè)M（0，m），表示出AM，求出DM的長，利用勾股定理求出AB的長，由三角形相似得比例，求出m的值，求出M坐標(biāo)，設(shè)出拋物線頂點形式，把M坐標(biāo)代入求出即可．

試題解析：（1）證明：∵AB是⊙M切線，D是切點，

∴MD⊥AB，

∴∠MDA=∠AOB=90°，

又∠MAD=∠BAO，

∴△ADM∽△AOB；

（2）解：設(shè)M（0，m），

由直線y=2x+12得，OA=12，OB=6，

則AM=12﹣m，DM=2，

在Rt△AOB中，AB===6，

∵△ADM∽△AOB，

∴，即，

解得：m=2，

∴M（0，2），

設(shè)頂點為（﹣， ）的拋物線解析式為y=a（x+）2+，

將M點坐標(biāo)代入，得a（0+）2+=2，

解得：a=﹣2，

則拋物線解析式為y=﹣2（x+）2+．