Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=16，AD=12，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)G以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)D出發(fā)至點(diǎn)B，以G為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△EFG，使得GE∥AD，GF∥AB，且GE=6．
（1）線段BD的長(zhǎng)度是

 

；
（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出矩形ABCD與△EFG重疊面積S與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系式及其自變量取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠A=90°，根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）有4種情況①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，根據(jù)△BEG∽△BAD得出

BG

BD

=

EG

AD

，求出t=10，當(dāng)0≤t≤10時(shí)s=18；②當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，由△BFG∽△BCD，得出比例式即可求出t=12.5，當(dāng)10＜t≤12.5時(shí)，S=18-

1

2

(

3

5

t-6)2，③當(dāng)點(diǎn)E、F均在矩形ABCD外側(cè)，且EF與BD有交點(diǎn)時(shí)，由△BMG∽△BAD和△BKG∽△BCD，推出

MG

AD

=

KG

CD

，令MG=x，則KG=6-x，

6-x

16

=

x

12

，求出x，進(jìn)一步求出t，當(dāng)12.5＜t≤

110

7

時(shí)，S=

1

2

×6×6-

1

2

(

4

5

t-10)2-

1

2

(

3

5

t-6)2，④如圖，當(dāng)EF與BD沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，即

110

7

＜t≤20時(shí)，S=GM•GK，代入求出即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∵AB=16，AD=12，
由勾股定理得：BD=

AD2+AB2

=

162+122

=20，
故答案為：20．

（2）①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，
∵EG∥AD，
∴△BEG∽△BAD，
∴

BG

BD

=

EG

AD

，
∴

20-t

20

=

6

12

，
解得t=10，
∴當(dāng)0≤t≤10時(shí)，
S=

1

2

×6×6=18，
②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在BC上時(shí)，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴

BG

BD

=

FG

CD

，
∴

20-t

20

=

6

16

，
解得t=12.5，
∴當(dāng)10＜t≤12.5時(shí)，
S=18-

1

2

(

3

5

t-6)2=-

9

50

t2+

18

5

t，
③如圖，當(dāng)點(diǎn)E、F均在矩形ABCD外側(cè)，
且EF與BD有交點(diǎn)時(shí)，
∵EG∥AD，
∴△BMG∽△BAD，
∴

BG

BD

=

MG

AD

，
∵FG∥CD，
∴△BKG∽△BCD，
∴

BG

BD

=

KG

CD

，
∴

MG

AD

=

KG

CD

，
令MG=x，則GK=6-x，
∴

6-x

16

=

x

12

，
∴x=

18

7

，
∵

20-t

20

=

18 7

12

，
∴t=

110

7

，
∴當(dāng)12.5＜t≤

110

7

（當(dāng)t=

110

7

時(shí)，EF過(guò)B點(diǎn)）時(shí)，
S=

1

2

×6×6-

1

2

（

4

5

t-6）²-

1

2

（

3

5

t-6）²，
=-

16

25

t²-18，
④當(dāng)EF與BD沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，
即

110

7

＜t≤20時(shí)，
S=GM•GK=(12-

3

5

t)(16-

4

5

t)=

12

25

t2-

96

5

t+192，
答：矩形ABCD與△EFG重疊面積S與時(shí)間t函數(shù)關(guān)系式是s=18（0≤t≤10）或s=-

9

50

t2+

18

5

t（10＜t≤12.5）或
S=-

1

2

t2+

58

5

t-50（12.5＜t≤

110

7

）或S=

12

25

t2-

96

5

t+192（

110

7

＜t≤20）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，此題是一個(gè)拔高的題目，有一定的難度，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．