Question

如圖1，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為M．D在y軸上，OB=OD=3，OA=5．

（1）試用含a的式子表示點M的坐標；

（2）若S_△ABC﹣S_△ACM=；

①求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；

②如圖2，將△BOD繞點O沿逆時針方向旋轉α（0°＜α≤180°）得到△B′OD′，直線AD與BC相交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）由線段長度，確定點A，B坐標代入y=ax²+bx+c即可用a表示拋物線，運用頂點公式即可求出點M坐標；

（2）①用a表示△ABC與△ACM的面積，根據(jù)題意列方程求解即可；

②根據(jù)題意分析出：以點O為圓心，以OB為半徑作圓，當AD與圓O在第二象限內相切時，Q的縱坐標最大，當AD與圓O在第三象限內相切時，Q的縱坐標最小，

分別求解即可，求解時，先確定切點坐標，求出兩條直線解析式，聯(lián)立直線解方程組求出y的值即可．

【解答】解：（1）由OB=OD=3，OA=5可得，

點A（﹣5，0），B（3，0），D（0，5），

設拋物線的解析式為y=a（x﹣3）×（x+5），

整理得：y=ax²+2ax﹣15a，

所以頂點M（﹣1，﹣16a）；

（2）如圖1

過點M作MN⊥x軸，垂足為N，交直線AC于點H，

y=ax²+2ax﹣15a，令x=0，解得：y=﹣15a，

所以：C（0，﹣15a）

設直線AC解析式為：y=mx+n，

由A（﹣5，0），C（0，﹣15a），坐標可得，，

解得：，

所以直線AC：y=﹣3ax﹣15a，

由M（﹣1，﹣16a），可得，

點H（﹣1，﹣12a），

所以MH=﹣16a﹣（﹣12a）=﹣4a，

所以：S_△ACM===﹣10a，

S_△ABC==﹣60a，

由S_△ABC﹣S_△ACM=，

解得：a=﹣，

所以：拋物線的解析式為：y=；

②如圖2

以點O為圓心，以OB為半徑作圓，當AD與圓O在第二象限內相切時，Q的縱坐標最大，

此時，易求點D′的坐標為（﹣），點A（﹣5，0）；點B′（），

用兩點法可求直線AD′解析式為：y=，

直線B′C的解析式為：，

聯(lián)立，

解得y=，

如圖3

以點O為圓心，以OB為半徑作圓，當AD與圓O在第三象限內相切時，Q的縱坐標最小，

此時易求點D′（，），點A（﹣5，0）；點B′（﹣），

用兩點法可求直線AD′解析式為：，

直線B′C的解析式為：，

聯(lián)立，

解得：y=．

所以：點Q縱坐標的取值范圍為：≤y≤．

【點評】此題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，會用已知點求解析式，會根據(jù)點的坐標表示三角形面積，會運用圓的知識分析解決旋轉的相關問題是解題的關鍵．