Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C

（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)F是其對(duì)稱軸上的點(diǎn)，求以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積；

（3）此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（0，2）；（2）；（3）M坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．

【解析】

試題分析：（1）分別令y=0，x=0，解方程后即可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；（2）分AB為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況求解決可；（3）分A、C、M為頂點(diǎn)三種情形討論，分別求解即可解決問題．

試題解析：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，

∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，2）．

（2）當(dāng)AB為平行四邊形的邊，

∵AB=EF=6，對(duì)稱軸x=﹣1，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣7或5，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)（﹣7，﹣）或（5，﹣），此時(shí)點(diǎn)F（﹣1，﹣），

∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積=6×=．

當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，即F（-1，），所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，-），

∴以A，B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積=.

（3）如圖所示，①當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN==，

∴點(diǎn)M1坐標(biāo)（﹣1，2+），點(diǎn)M2坐標(biāo)（﹣1，2﹣）．

②當(dāng)M3為頂點(diǎn)時(shí)，∵直線AC解析式為y=﹣x+1，

線段AC的垂直平分線為y=x，

∴點(diǎn)M3坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．

③當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形不存在．

綜上所述點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．