Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點P，頂點為C（1，-2）．
（1）求此函數(shù)的關(guān)系式；
（2）作點C關(guān)于x軸的對稱點D，順次連接A，C，B，D．若在拋物線上存在點E，使直線PE將四邊形ABCD分成面積相等的兩個四邊形，求點E的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得△PEF是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點F的坐標(biāo)及△PEF的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將頂點坐標(biāo)C（1，-2）代入y=x²+bx+c即可求得此二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）先求出直線PM的解析式，然后與二次函數(shù)聯(lián)立即可解得點E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)先求出GP=GF，求出F點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得△PEF的面積．

解答：解：（1）∵y=x²+bx+c的頂點為（1，-2）．
∴y=（x-1）²-2，y=x²-2x-1；

（2）設(shè)直線PE對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，根據(jù)A，B關(guān)于對稱軸對稱，
可以得出AC=CB，AD=BD，點C關(guān)于x軸的對稱點D，
故AC=BC=AD=BD，
則四邊形ACBD是菱形，
故直線PE必過菱形ACBD的對稱中心M．            
由P（0，-1），M（1，0），
得

b=-1 k+b=0

從而得y=x-1，
設(shè)E（x，x-1）代入y=x²-2x-1得x-1=x²-2x-1，
解得x₁=0，x₂=3，
根據(jù)題意得點E（3，2）；

（3）假設(shè)存在這樣的點F，可設(shè)F（x，x²-2x-1），
過點F做FG⊥y軸，垂足為G點．
在Rt△POM和Rt△FGP中，
∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∠OMP=∠FPG，
又∠MOP=∠PGF，
∴△POM∽△FGP
∴

OM

OP

= 

GP

GF

∵OM=1，OP=1，
∴GP=GF，即-1-（x²-2x-1）=x，
解得x₁=0，x₂=1，
根據(jù)題意得F（1，-2）
以上各步均可逆，故點F（1，-2）即為所求，
S_△PEF=S_△MFP+S_△MFE=

1

2

×2×1+

1

2

×2×2=3．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法及三角形的相似等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的運用，同學(xué)們要加強訓(xùn)練．