Question

如圖，在同一平面內(nèi)有相同的正方形ABCD和A′B′C′D′，A′與正方形ABCD的中心重合，且正方形A′B′C′D′繞A′轉(zhuǎn)動(dòng)，則它們重疊部分的面積與正方形ABCD的面積之比是

1：4

．

Answer 1

分析：設(shè)A′B′與BC交于M點(diǎn)，A′D′與CD交于N點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△A′MC≌△A′N(xiāo)D，利用割補(bǔ)法得出S_{四邊形A′MCN}=S_△A′CD，再根據(jù)正方形ABCD與△A′CD的面積關(guān)系解題．

解答：解：如圖，設(shè)A′B′與BC交于M點(diǎn)，A′D′與CD交于N點(diǎn)，
∵∠CA′D=∠MA′N(xiāo)=90°，
∴∠CA′N(xiāo)+∠DA′N(xiāo)=∠MA′C+∠NA′C，
∴∠DA′N(xiāo)=∠MA′C，
又A′D=A′C，∠A′DN=∠A′CM=45°，
∴△A′N(xiāo)D≌△A′MC，
∴S_{△A′N(xiāo)D}=S_△A′MC，
∴_{四邊形A′MCN}=S_△A′CD，
而S_△A′CD：S_{正方形ABCD}=1：4，
故答案為：1：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題的思想．關(guān)鍵是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)找出兩個(gè)全等三角形．