Question

（2000•朝陽(yáng)區(qū)）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，連接AC、BC、過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線(xiàn)，交BC于E，交半圓于F，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于D．
（1）求證：=；
（2）如果OA=2，點(diǎn)C在弧AF上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，F(xiàn)重合）．設(shè)OE的長(zhǎng)為x，△AOD的面積為y，求y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫(xiě)出自變量x的取值范圍，并畫(huà)出函數(shù)圖象．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB是直徑得出∠ACB是直角，推出∠A和∠B的和為90°，再由OD與AB垂直得出∠A與∠D的和為90°，從而得出角的等量關(guān)系，即可得到△OEC∽△OCD，從而推出結(jié)論．
（2）由△OEC∽△OCD得出邊的比例關(guān)系，再由三角形的面積公式即可得出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出自變量x的取值范圍即可．
解答：（1）證明：∵OC=OB
∴∠OCB=∠B
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
∵OD⊥AB
∴∠A+∠D=90°
∴∠D=∠B=∠OCB
∵∠EOC=∠COD
∴△OEC∽△OCD
∴=
∴=（6分）

（2）解：∵△OEC∽△OCD
∴
∴OC²=OE•OD
∵OC=2，OE=x
∴2²=x•OD
∴（8分）
又∵y=，∴，
∴y=（9分）
∴自變量x的取值范圍是0＜x＜2（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及二元一次函數(shù)的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度適中．