Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，△DEF是邊長(zhǎng)為a（a為小于3的常數(shù)）的等邊三角形，將△DEF沿AC方向平移，使點(diǎn)D在線段AC上，DE∥AB，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的周長(zhǎng)為T。

（1）求證：點(diǎn)E到AC的距離為一常數(shù)；
（2）若AD=，當(dāng)a=2時(shí)，求T的值；
（3）若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示T。

Answer 1

（1）由銳角三角函數(shù)和平行的性質(zhì)可證得。
（2）
（3）

分析：（1）由銳角三角函數(shù)和平行的性質(zhì)可證得。
（2）應(yīng)用銳角三角函數(shù)求得三邊長(zhǎng)即可。
（3）分點(diǎn)H在線段AC上和點(diǎn)H在線段AC的延長(zhǎng)線上兩種情況討論即可。
解：（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，則EH即為點(diǎn)E到AC的距離。

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90⁰，AC=，BC=3，
∴。∴∠A=60⁰。
∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=60⁰。
∵DE=a（a為小于3的常數(shù)），
∴（常數(shù)）。
∴點(diǎn)E到AC的距離為一常數(shù)。
（2）當(dāng)a=2時(shí)，，。
∵AD=，∴AH=。∴此時(shí)，點(diǎn)H在在線段AC上。
∴此時(shí)，△DEF與△ABC重疊部分就是△DEF。
∴。
（3）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處時(shí)， ，
由得，，解得。
∴分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H在線段AC上，此時(shí)，△DEF與△ABC重疊部分就是△DEF。
∴。
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)H在線段AC的延長(zhǎng)線上，如圖，此時(shí)，△DEF與△ABC重疊部分就是△DCG。

根據(jù)三角形中位線定理，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，
∴CD=，CG=,DG=。
∴。
綜上所述，。